• Что такое система счисления?
• Непозиционные системы счисления
• Полупозиционные системы счисления
• Позиционные системы счисления

Мы объясняем, что такое система нумерации, и изучаем характеристики каждого типа системы на примерах из разных культур.

Каждая система счисления содержит определенный и конечный набор символов.

Что такое система счисления?

Система счисления — это набор символов и правил, с помощью которых можно выразить количество объектов в числе. установлен, то есть через который могут быть представлены все действительные числа. Это означает, что каждая система счисления содержит заданный и конечный набор символов плюс заданный и конечный набор правил, по которым их можно комбинировать.

Системы счисления были одним из главных изобретений человека в древности, и каждая из древних цивилизаций имела свою систему, связанную с ее способом видения мира, то есть с ее культурой.

Вообще говоря, системы нумерации можно разделить на три различных типа:

• непозиционные системы. Это те, в которых каждому символу соответствует фиксированное значение, независимо от того, какую позицию он занимает в числе (если он появляется первым, сбоку или после).
• Полупозиционные системы. Это те, в которых значение символа имеет тенденцию быть фиксированным, но может быть изменено в определенных ситуациях появления (хотя они, как правило, являются скорее исключениями). Под ним понимается промежуточная система между позиционной и непозиционной.
• Позиционные или взвешенные системы.Это те, в которых значение символа определяется как его собственным выражением, так и местом, которое он занимает в числе, будучи в состоянии иметь большее или меньшее значение или выражать разные значения в зависимости от того, где он расположен.

Также можно классифицировать системы счисления на основе числа, которое они используют в качестве основы для своих вычислений. Так, например, нынешняя западная система счисления является десятичной (поскольку ее основание равно 10), тогда как шумерская система счисления была шестидесятеричной (ее основание было 60).

Непозиционные системы счисления

Непозиционные системы были просты в освоении, но требовали множества символов.

Непозиционные системы счисления возникли первыми и имели самые примитивные основания: пальцы, узлы на веревке или другие способы записи согласования числовых наборов. Например, если считать на пальцах одной руки, то можно считать и на всей руке.

В этих системах цифры имеют собственное значение, независимо от их расположения в цепочке символов, и для образования новых символов значения символов необходимо складывать (по этой причине они также известны как аддитивные системы). Эти системы были простыми, легкими в освоении, но для выражения больших величин требовалось множество символов, поэтому они были не совсем эффективными.

Примеры систем такого типа:

• Египетская система счисления. Возник примерно в третьем тысячелетии до нашей эры. C., был основан на десятке и использовался иероглифы разные для каждого порядка единиц: одна для единицы, одна для десятки, одна для сотни и так далее до миллиона.
• Система счисления ацтеков. Типичный для империи Мехика, он имел 20 в качестве основы и использовал определенные предметы в качестве символов: флаг равнялся 20 единицам, перо или несколько волос равнялись 400, сумка или мешок равнялись 8000, среди прочего.
• Греческая система счисления.В частности, ионийский язык был изобретен и распространен в восточном Средиземноморье с четвертого века до нашей эры. C., заменив ранее существовавшую акрофоническую систему. Это была алфавитная система, в которой буквы обозначали числа, сопоставляя букву с ее кардинальной позицией в алфавите (A=1, B=2). Таким образом, каждому числу от 1 до 9 присваивалась буква, каждой десятке — другая определенная буква, каждой сотне — другая, пока не стали использоваться 27 букв: 24 буквы греческого алфавита и три специальных символа.

Полупозиционные системы счисления

Полупозиционные системы отвечали потребностям более развитой экономики.

Полупозиционные системы счисления сочетают в себе понятие фиксированного значения каждого символа с определенными правилами позиционирования, поэтому их можно понимать как гибридную или смешанную систему между позиционными и непозиционными. Они обладают средствами для представления больших чисел, управления порядком чисел и формальными процедурами, такими как умножение, поэтому они представляют собой шаг вперед по сложности по сравнению с непозиционными системами.

В значительной степени появление полупозиционных систем можно понимать как переход к более эффективной модели нумерации, способной удовлетворить более сложные потребности более развитой экономики, такой как великие империи классической древности.

Примеры этой модели нумерации:

• Римская система счисления. Созданный в римской древности, он сохранился до наших дней. В этой системе цифры строились с использованием определенных заглавных букв латинского алфавита (I = 1, V = 5, X = 10, L = 50 и т. д.), значение которых было фиксированным и действовало на основе сложения и вычитания в зависимости от где появляется символ.Если символ находился слева от символа равного или меньшего значения (как в случае II = 2 или XI = 11), следует суммировать общие значения; в то время как если символ был слева от символа с более высоким значением (как в IX = 9 или IV = 4), их нужно было вычесть.
• Классическая китайская система счисления. Его происхождение восходит примерно к 1500 году до нашей эры. C. и представляет собой очень строгую систему вертикального представления чисел через их собственные символы, объединяющую две разные системы: одну для разговорной и повседневного письма, а другую для коммерческих или финансовых записей. Это была десятичная система с девятью различными знаками, которые можно было размещать рядом друг с другом, чтобы сложить их значения, иногда вставляя специальный знак или чередуя расположение знаков для обозначения конкретной операции.

Позиционные системы счисления

Нынешняя система нумерации происходит от индийско-арабской системы.

Позиционные системы счисления являются наиболее сложными и эффективными из трех существующих типов систем счисления. Сочетание правильного значения символов и значения, присваиваемого их положением, позволяет им строить очень высокие цифры с очень небольшим количеством символов, добавляя и/или умножая значение каждого из них, что делает их более универсальными и современными системами.

Как правило, позиционные системы используют фиксированный набор символов, и посредством их комбинации остальные возможные фигуры производятся до бесконечности без необходимости создавать новые знаки, а скорее путем открытия новых столбцов символов. Конечно, это означает, что ошибка в строке также изменяет общее значение числа.

Первые примеры систем этого типа возникли в пределах великих империй или самых требовательных древних культур в культурных и коммерческих вопросах, таких как Вавилонская империя второго тысячелетия до нашей эры. C. Примерами этого типа системы нумерации являются:

• Современная десятичная система.Используя только цифры от 0 до 9, вы можете построить любое возможное число, добавляя столбцы, значение которых добавляется по мере вашего движения вправо, используя десять в качестве основы. Таким образом, добавляя символы к 1, мы можем построить 10, 195, 1958 или 19589. Важно уточнить, что используемые символы происходят от индийско-арабских цифр.
• Индо-арабская система счисления. Изобретенный древними мудрецами Индии и позже унаследованный арабами-мусульманами, он достиг Запада через Аль-Андалус и в итоге заменил римские цифры традиционный. В этой системе, похожей на современную десятичную, единицы от 0 до 9 представлены особыми глифами, которые представляли значение каждой из них с помощью линий и углов. Система работы этой системы в основном такая же, как современная западная десятичная система.
• Система счисления майя. Он был создан для измерения времени, а не для выполнения математических операций, и его основание было десятичным, а его символы соответствовали календарю этой доколумбовой цивилизации. Фигуры, сгруппированные 20 на 20, изображаются основными знаками (полосы, точки и улитки или ракушки); и для перехода к следующему баллу добавляется балл на следующем уровне письма. В дополнение майя они были одними из первых, кто использовал число ноль.